Hier findest du die deutsche Videos zur Maßtheorie.
Teil 1 - Sigma-Algebra
Wir lernen was eine Sigma-Algebra ist, da wir diese für die Konstruktion von Maßen benötigen werden.
Im nächsten Video lernen wir, wie wir Sigma-Algebren bilden.
Part 2 - Borel’sche Sigma-Algebra
Nun können wir über spezielle Sigma-Algebren sprechen. Die wichtigste ist die sogenannte Borel’sche Sigma-Algebra. Diese wird im allgemeinen mit topologischen Räumen oder metrischen Räumen definiert. Insbesondere hat die reelle Zahlengerade $ \mathbb{R} $$ eine wohldefinierte Borel-Sigma-Algebra.
Part 3 - Was ist ein Maß?
Jetzt können wir endlich die Definition eines Maß geben. Diese benötigt eine Sigma-Algebra als Definitionsbereich.
Part 4 - Nicht alles ist Lebesgue-messbar
Das nächste Video greift das Maßproblem wieder auf und zeigt, warum wir wirklich mit Sigma-Algebren hantieren müssen. Für das gewünschte Lebesgue-Maß mit notwendigen Eigenschaften können nicht alle Mengen meßbar sein. Genau eine solche nicht-meßbare Menge konstruieren wir in diesem Video.
Part 5 - messbare Abbildungen
Ein wichtiger Begriff für die Integration ist gegeben durch sogenannte messbare Abbildungen. Diese kann man allgemein definieren und erklären grob einfach, dass die Struktur der Sigma-Algebren durch die Abbildung berücksichtigt wird. Diese Abbildungen werden später diejenigen sein, die wir integrieren können.
Part 6 - Lebesgue-Integral
Nach der ganzen Vorarbeit sind wir nun an dem Punkt, an welchem wir endlich das Integral definieren können. Zur Unterscheidung des klassischen Riemann-Integrals werden wir hier nun von dem Lebesgue-Integral sprechen.
Part 7 - Integraleigenschaften und Satz von der monotonen Konvergenz
Der Integralbegriff, den wir definiert haben, hat viele hilfreiche Eigenschaften, die auch leicht zu zeigen sind. Des Weiteren werden wir hier auch den wichtigen Satz der monotonen Konvergenz besprechen.
Part 8 - Satz von der monotonen Konvergenz (Beweis)
Nachdem wir den Satz der monotonen Konvergenz beschrieben haben, können wir uns auch an einem Beweis versuchen.
Part 9 - Lemma von Fatou
Man sollte sich nicht von dem Namen täuschen lassen. Dieses Lemma ist richtiges Konvergenztheorem, was man sich auf jeden Fall merken sollte.
Part 10 - Satz von Lebesgue oder Satz von der majorisierten Konvergenz
Das nächste Konvergenztheorem trägt oft nur den Namen von Lebesgue und zeigt damit auch die Wichtigkeit aus. Um dieses anzuwenden brauchen wir eine sogenannte integrierbare Majorante.
Part 11 - Beweis des Satzes von Lebesgue
Jetzt sind wir soweit, den Beweis des Satzes von der majorisierten Konvergenz aufschreiben zu können.
Part 12 - Fortsetzungssatz von Carathéodory
Das folgende Theorem über die Konstruktion von Maßen ist eines der wichtigsten in diesem Kurs. Es zeigt uns, dass wie wir mit wenigen Grundvoraussetzungen eine Sigma-Algebra und ein Maß konstruieren können.
Part 13 - Lebesgue-Stieltjes-Maße
Es gibt besondere Borelmaße auf $\mathbb{R}$, die jeweils komplett mit einer monton-wachsenden Funktion beschrieben werden können. Diese nennen wir Lebesgue-Stieltjes-Maße. Insbesondere wenn die Funktion stetig differentzierbar ist, finden wir eine sogannte Dichte bezüglich den üblichen Lebesgue-Maßes.
Part 14 - Satz von Radon-Nikodým und Zerlegungssatz von Lebesgue
Wir schauen uns Maße auf der Borel $\sigma$-algebra von $\mathbb{R}$ an, insbesondere das gewöhnliche Lebesgue-Maß. Nun nennen wir ein anders Maß absolut stetig, wenn die Nullmengen des Maßes alle Lebesgue Nullmengen einschließt. Auf der anderen Seite sprechen wir von einem singulär stetigem Maß, wenn für eine Nullmenge das Komplement eine Lebesgue-Nullmenge ist. Es stellt sich nun heraus, dass sich jedes Borelmaß als Summe von einem absolut stetigen und singulär stetigen Maß schreiben lässt.
Part 15 - Bildmaß und Substitutionsformel
Die Substitutionsregel ist eine Standardtechnik der Analysis, die man gewöhnlich direkt für das Lebesgue-Integral und differenzierbare Funktion lernt. Es stellt sich jedoch heraus, dass dies nur ein Spezialfall einer allgemeineren Regel des Lebesgue-Integrals ist. Diese benötigt, dass sogenannte Bildmaß.
Part 16 - Substitutionsformel für Maßräume - Beweis
Nun können wir uns den Beweis der allgemeinen Substitutionsregel zuwenden. Tatsächlich können wir diesen mit geeigneten Approximationen führen.
Part 17 - Produktmaß und Prinzip von Cavalieri
Part 18 - Prinzip von Cavalieri - Beispiel
Part 19 - Satz von Fubini
Part 20 - Äußere Maße - Teil 1
Part 21 - Äußere Maße - Teil 2: Beispiele
Summary of the course Maßtheorie
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